Cara Cerdik Gauss Menjumlahkan Deret

Ada cerita menarik dari salah seorang Matematikawan berkebangsaan Jerman, Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Saat ia berumur 10 tahun, guru matematikanya memberikan pertanyaan untuk seluruh siswa di kelas. Sang guru memberikan pertanyaan berupa penjumlahan deret dari satu sampai seratus, “Berapa hayooo nilai dari “ kira-kira begitu pertanyaannya. Tanpa membutuhkan waktu  yang lama, Gauss yang masih kecil itu langsung menjawab…

Konsep Trigonometri Berdasarkan Lingkaran Satuan

Sekarang kita akan memahami konsep trigonometri berdasarkan lingkaran satuan. Apa itu lingkaran satuan? Lingkaran satuan berarti lingkaran dengan jari-jari sebesar satu. Kita sudah belajar persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius yang didefinisikan sebagai Lingkaran satuan berarti lingkaran yang memiliki persamaan dalam koordinat Kartesius kita gambarkan sebagaiNah dari lingkaran satuan tersebut, kita dapat menentukan sinus dan kosinus…

Kesalahan Penalaran dalam Menyelesaikan Masalah Kalkulus

Banyak sekali kesalahan-kesalahan kecil yang kita lakukan ketika mengerjakan soal matematika. Walaupun kesalahannya terbilang sederhana, namun akan berakibat sangat fatal (pake banget malah!). Kesalahan ini terjadi karena kurangnya pemahaman kita terhadap konsep dasar dalam matematika. Berikut ini merupakan kesalahan yang sering kita lakukan: Pembagian Nol dengan Nol Contohnya begini: Misalkan , kemudian kedua ruas dikalikan…

Apa yang Terjadi Jika Roda Sepeda Kita Berbentuk Persegi?

Pernah ngebayangin enggak, gimana jadinya kalau roda sepeda berbentuk persegi? Apakah sepeda kita akan mudah bergerak? Jika dapat bergerak, di permukaan jalan yang seperti apa? Untuk menjawabnya, mari kita tinjau dari sudut pandang kalkulus. Jika mengendarai sepeda dengan roda berbentuk lingkaran, maka kita akan mengendarai sepeda tersebut dengan mulus, kenapa?Karena selama rodanya terus berputar, titik…

Komposisi Fungsi

Kita pernah memisalkan sebuah fungsi itu seperti “mesin blender” yang inputnya adalah bahan makanan/minuman, dan outputnya adalah sebuah makanan/minuman yang baru. Seperti buah melon yang kita olah dengan mesin blender, maka hasilnya berupa secangkir jus melon. Nah sekarang jika jus melon hasil output tadi kita olah kembali dengan mesin baru, katakan “mesin refrigerator” atau pendingin,…

Daerah Asal Fungsi Komposisi

Daerah asal dari fungsi komposisi adalah himpunan nilai-nilai yang memenuhi sifat berikut: berada di dalam daerah asal fungsi , dan berada di dalam daerah asal fungsi . Misalnya kita punya fungsi yang memiliki domain himpunan bilangan riil, dan fungsi yang memiliki domain untuk setiap . Misalkan juga kita punya komposisi . Sekarang ambil nilai yang…

Apa itu Fungsi?

Kita pasti pernah melakukan percobaan memasak di dapur, mencampur-campurkan bahan makanan dan dengan pede-nya berpikir, “kalau bahan ini ditambah bahan ini kayanya hasilnya enak deh“. Misalnya kita coba memasukkan buah mangga ke dalam blender, setelah diolah oleh mesin blender, hasilnya kita punya secangkir jus mangga. Sekarang kita coba memasukkan cabe ke dalam blender, dan setelah…

Daerah Asal Fungsi

Sangat penting bagi kita untuk mendefinisikan suatu fungsi secara lengkap, yakni dengan menyebutkan daerah asal fungsi dan (jika memungkinkan) menyebutkan daerah hasilnya juga. Apa yang dimaksud dengan daerah asal atau domain suatu fungsi? Simplenya, daerah asal itu himpunan semua bilangan riil sehingga fungsi terdefinisi. Daerah asal ini dinotasikan dengan . Apakah setiap fungsi memiliki daerah…

Daerah Hasil Fungsi

Melanjutkan materi sebelumnya tentang daerah asal atau domain suatu fungsi, sekarang kita akan mempelajari temennya dari daerah asal, yakni daerah hasil atau range. Setelah kita mengetahui semua nilai yang dapat diinputkan ke dalam fungsi , maka fungsi akan menghasilkan output berupa nilai yang dinamakan daerah hasil. Daerah hasil dari fungsi dinotasikan dengan .atau lebih jelasnya dapat…

Grafik Fungsi dan Asimtot

Motivasi kita mempelajari bagaimana caranya menentukan daerah asal fungsi adalah untuk mengetahui karakteristik dari grafik fungsi tersebut. Sebelumnya kita telah bahas bahwa menentukan daerah asal itu bisa dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan grafik dan tidak, namun akan lebih baik jika kita menentukan daerah asal tersebut tanpa menggunakan grafik, kenapa? Karena tujuan kita mencari daerah asal…

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Sebelumnya kita sudah mempelajari tentang kesimetrian grafik. Di sana kita belajar bahwa grafik suatu persamaan ada yang simetri terhadap sumbu-x, sumbu-y, ataupun titik asal. Jika memandang kembali fungsi sebagai sebuah persamaan , maka sekarang kita bisa kategorikan fungsi-fungsi yang memiliki kesimetrian sebagai fungsi genap ataupun fungsi ganjil. Jika untuk setiap bilangan riil , maka kita…

Fungsi Floor dan Grafiknya

Kita berkanalan dengan salah satu fungsi dasar di dalam matematika, namanya fungsi floor. Floor sendiri kalau diterjemahkan ke dalam bahasa indonesia artinya lantai, atau dasar. Fungsi floor dinotasikan , yang mana pertama kali diperkenalkan oleh Carl Friedrich Gauss, dan didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan . Artinya, untuk setiap akan ada…

Fungsi Nilai Mutlak dan Grafiknya

Kita sudah mempelajari tentang nilai mutlak, yang mana dapat dikatakan juga sebagai modulus atau jarak. Nah fungsi nilai mutlak juga didefinisikan sebagai Fungsi nilai mutlak memiliki daerah asal himpunan bilangan riil, dan daerah hasilnya adalah himpunan bilangan riil positif. Untuk menggambar grafik fungsi nilai mutlak, kita harus mengubah bentuk aturan fungsi nilai mutlak tersebut sehingga diperoleh…

Menggambar Grafik Suatu Persamaan dan Kesimetriannya

Pengunaan koordinat Kartesius untuk mendeskripsikan titik-titik pada bidang ternyata memungkinkan kita untuk mendeskripsikan juga suatu kurva dengan menggunakan suatu persamaan. Nah, grafik persamaan dalam bentuk dan ini terdiri atas titik-titik yang koordinat -nya memenuhi persamaan tersebut. Sebelum kita mencoba menggambarkan suatu persamaan dalam koordinat Kartesius, ada tiga langkah yang akan memudahkan kita menggambarkan grafik. Apa…

Titik Potong dari Dua Grafik

Jika kita menggambarkan dua grafik yang berbeda dalam satu koordinat Kartesius yang sama, maka kita dapat melihat apakah kedua grafik tersebut “berjodoh” atau “tidak”. Kalau dua grafik tersebut berjodoh, mereka akan saling dipertemukan sama lain di suatu titik yang dinamakan titik potong . Lain halnya jika kedua grafik tersebut tidak berjodoh, maka mereka tidak akan…

Bentuk Dasar Grafik Kuadrat dan Kubik

Grafik kuadrat dan kubik punya bentuk grafik yang khas loh, jadi jika kita ingin menggambarkan kedua grafik kuadrat dan kubik maka pasti bentuknya sudah terbayang dibenak kita, tentu jika kita sudah menghafal bentuk-bentuk dasarnya. Yang membedakan gambar grafik kuadrat dan kubik adalah koefisien-koefisien dari dan juga konstantanya. Bagaimana ciri khas dari grafik kurva-kurva tersebut? Grafik…