“Jika suatu lingkaran memiliki jari-jari sebesar r=7 cm, maka berapakah luas lingkaran tersebut?”, tanya guru SD kita saat itu. Spontan saja langsung kita jawab 154 cm^{2}, yang didapat dari penghitungan rumus luas lingkaran L=\pi r^{2}. Guru kita mengajarkan kepada kita bahwa nilai dari \pi (dibaca: pi) adalah sebesar \frac{22}{7} atau 3,14. Kita mengiakan saja tanpa bertanya apa sebenarnya bilangan \pi itu dan dari mana asal-usulnya. Padahal dari sejarahnya sendiri, Archimedes telah membuktikan bahwa \pi <\frac{22}{7} dan \pi>\frac{223}{71}. Jadi rentang nilai \pi adalah

\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}

Perlu digaris bawahi, \pi bukanlah suatu bilangan rasional. Artinya, nilai dari \pi tidak dapat dituliskan ke dalam bentuk pecahan \frac{p}{q}, q\neq 0.

Jadi, apa sebenarnya bilangan \pi itu?

\pi merupakan rasio atau perbandingan dari keliling suatu lingkaran (k) dengan panjang diameternya (d). Jadi sebesar atau sekecil apa pun lingkaran yang kita punya, jika keliling lingkaran tersebut dibagi dengan panjang diameternya maka akan menghasilkan suatu bilangan konstan yang disebut \pi,

\pi =\frac{k}{d}

Dari perbandingan tersebut, kita bisa peroleh rumus keliling lingkaran sebagai k=\pi d. Karena diameter lingkaran merupakan dua kali jari-jarinya, jadi dapat dituliskan k=\pi(2r)=2\pi r. Nah, permasalahan sekarang adalah; bagaimana matematikawan terdahulu menaksir nilai \pi? mengingat kalkulator scientific saat itu masih menjadi khayalan semata.

Archimedes merupakan ilmuwan pertama yang mampu menaksir nilai \pi dengan cukup akurat. Meskipun saat itu ia tidak tahu berapa panjang keliling lingkaran, namun dia mencoba untuk menghampiri panjang keliling lingkaran dengan keliling suatu segi-n beraturan. Bagaimana caranya?

Pertama kita harus mencari rumus keliling dari segi-n beraturan. Karena rumus keliling lingkaran adalah k= 2\pi r, maka agar k =\pi, haruslah r=1/2. Jadi kita akan bekerja pada lingkaran dengan jari-jari sebesar r=1/2, tentu dengan tujuan agar lebih mudah. Sekarang perhatikan lingkaran yang dihampiri oleh segi-n berikut

Kita buat garis AB dan AD sehingga \Delta ABD merupakan segitiga siku-siku dan \Delta ABC merupakan segitiga sama kaki,

Dari sana dapat terlihat bahwa AD\perp BC dan BD=DC. Selanjutnya misalkan garis BC dan DC memiliki panjang a.

Tujuan kita sekarang adalah mencari nilai dari a. Caranya; perhatikan nilai sinus dari sudut \theta, yaitu perbandingan dari sisi depan dengan sisi miringnya,

\sin\theta=\frac{BD}{AB}=\frac{a}{1/2}=2a

Jadi kita punya rumus untuk menentukan panjang sisi BC sebagai

\bar{BC}=a+a=2a=\sin\theta

\bar{BC}=\sin\theta

Karenanya keliling dari segi-n tersebut adalah

Keliling segi-n= Jumlah sisi BC \times \bar{BC}

Keliling segi-n=n\times\sin\theta

Yippie~ kita sudah mendapatkan rumus mencari keliling segi-n beraturan. Sentuhan terakhir, kita perlu mencari nilai dari sudut \theta. Karena jumlah sudut satu lingkaran penuh adalah sebesar 360^{o},

maka

\theta =\frac{360^{o}}{n}\times\frac{1}{2}=\frac{180^{o}}{n}

Jadi diperoleh

Keliling segi-n=n\times\sin(\frac{180^{o}}{n})

Nah, sekarang kita bisa menghampiri nilai \pi berdasarkan rumus di atas. Konsepnya begini, misalkan kita ingin menghampiri keliling lingkaran berjari-jari r=1/2 oleh keliling suatu segi enam (artinya segi-n dengan n=6). Jadi kita cukup menghitung

Keliling segi enam =6\sin(\frac{180}{6})=3

Karena keliling lingkarannya bernilai k=\pi, maka keliling lingkaran tersebut dapat dihampiri oleh keliling segi enam, yang berarti

k=\pi\approx 3

Agar nilai aproksimasinya lebih baik lagi, maka kita harus menghampiri lingkaran tersebut dengan segi-n untuk n yang cukup besar. Misalnya dengan segi seribu sehingga diperoleh nilai hampirannya

k=\pi\approx 3,141587

Sumber : zazzle.com


Sumber Gambar:

\https://www.youtube.com/watch?v=DLZMZ-CT7YU

https://steemit.com/steemstem/@bikkichhantyal/so-close-no-matter-how-far-concept-of-limit

Bagikan ke teman spesial mu

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *